ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 230: Правило умножения

Нам нужно составить четырёхзначные натуральные числа из цифр от 1 до 9. Главное условие: каждая следующая цифра должна быть строго больше предыдущей. Это означает, что цифры в числе не могут повторяться (так как если бы они повторялись, то одна была бы равна другой, а не больше), и порядок их следования жёстко задан — по возрастанию.

Давайте подумаем, как это связано с комбинаторикой. Если мы просто выберем любые четыре различные цифры из множества {1,2,…,9}, то существует только один способ расставить их так, чтобы они шли по возрастанию. Например, если мы выбрали цифры {2,5,1,8}, то единственное число, удовлетворяющее условию «каждая следующая больше предыдущей», будет 1258. Любая другая перестановка этих цифр нарушит условие монотонного возрастания.

Следовательно, количество таких чисел равно количеству способов выбрать 4 различные цифры из 9 доступных. В математике такая задача решается с помощью формулы сочетаний .

Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

В нашей задаче:

• n=9 (всего цифр от 1 до 9);
• k=4 (нам нужно выбрать 4 цифры для четырёхзначного числа).

Подставим значения в формулу:

Распишем факториалы, чтобы упростить вычисления. Заметим, что 9!=9·8·7·6·5!. Тогда:

Сократим 5! в числителе и знаменателе:

Теперь вычислим 4!=4·3·2·1=24. Подставим это значение:

Удобнее сократить дробь поэтапно, не перемножая всё сразу:

1. Знаменатель 24 можно представить как 4·6. Сократим 6 в числителе и 6 в знаменателе (или 4·6 на 6): остаётся 4 в знаменателе.
2. Или проще: 4!=24. Разделим 8 на 4, получим 2. Разделим 6 на 3, получим 2. Осталось умножить 9·2·7·2? Нет, давайте аккуратно.
   9·8·7·6/4·3·2·1
   Сократим 8 и 4: в числителе останется 2 (8/4=2).
   Сократим 6 и 3: в числителе останется 2 (6/3=2).
   Сократим полученную двойку с 2 в знаменателе (2/2=1).
   Остаётся: 9·1·7·2? Проверим ещё раз.
   Числитель: 9,8,7,6. Знаменатель: 4,3,2,1.
   8/4=2. Теперь числитель: 9,2,7,6. Знаменатель: 3,2,1.
   6/3=2. Теперь числитель: 9,2,7,2. Знаменатель: 2,1.
   2/2=1. Теперь числитель: 9,1,7,2. Знаменатель: 1.
   Итого произведение: 9·7·2.

Вычислим итоговое значение:

Таким образом, количество четырёхзначных чисел, составленных из цифр 1-9 с возрастающими цифрами, равно 126.

Проверка логики: Можно ли было решить иначе? Да, например, перебором для малых случаев. Для двухзначных чисел из цифр 1..3 с возрастанием: 12,13,23 (всего 3). По формуле C23=3. Совпадает. Для трёхзначных из 1..4: 123,124,134,234 (всего 4). По формуле C34=4. Совпадает. Логика верна.