ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 311: Дисперсия числового набора
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Екатерина Новикова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел x1,x2,x3,...,xn, и их среднее арифметическое равно x. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: (x1-x)+(x2-x)+(x3-x)+...+(xn-x)=0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании требуется доказать фундаментальное свойство статистических данных: сумма отклонений каждого элемента набора от его среднего арифметического всегда равна нулю. Это свойство лежит в основе понятия дисперсии и показывает, что среднее арифметическое является «центром тяжести» распределения чисел.
Шаг 1. Запишем определение среднего арифметического
Пусть у нас есть набор из n чисел: x1,x2,…,xn. Среднее арифметическое этого набора обозначается как x и вычисляется по формуле:
x=x1+x2+…+xn/nИз этой формулы следует важное равенство: если умножить обе части на n, то сумма всех элементов набора будет равна произведению количества элементов на их среднее значение:
x1+x2+…+xn=n·xШаг 2. Составим сумму отклонений
Нам нужно найти сумму отклонений каждого числа от среднего. Отклонение для первого числа равно (x1-x), для второго — (x2-x) и так далее до n-го числа (xn-x). Запишем полную сумму этих отклонений:
S=(x1-x)+(x2-x)+…+(xn-x)Шаг 3. Преобразуем выражение
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые. Все члены вида xi соберём вместе, а все члены вида -x также объединим:
S=(x1+x2+…+xn)-(x+x+…+xn раз)Первая часть в скобках — это просто сумма всех элементов набора. Вторая часть представляет собой число x, взятое n раз, то есть n·x.
Шаг 4. Подставим известное соотношение и сделаем вывод
Используем равенство из Шага 1: x1+x2+…+xn=n·x. Подставим это в наше выражение для суммы S:
S=(n·x)-(n·x) S=0Таким образом, мы доказали, что сумма отклонений всех элементов числового набора от их среднего арифметического действительно равна нулю.
Доказательство:
Сумма отклонений равна (x1+…+xn)-nx.
Так как x1+…+xn=nx, то nx-nx=0.
Решение построено на алгебраических преобразованиях определения среднего арифметического. Ключевым моментом является замена суммы элементов на произведение количества элементов на среднее.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 311 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 311?
Краткий ответ: Доказательство: Сумма отклонений равна (x_1 + + x_n) - n x. Так как x_1 + + x_n = n x, то n x - n x = 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 43. Дисперсия числового набора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.