ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 110: Дерево случайного опыта
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Артём Савельев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В ящике 20 левых и 20 правых перчаток. Сколько нужно достать перчаток вслепую, чтобы среди них нашлась хотя бы одна левая и хотя бы одна правая
а) наверняка (с вероятностью 1)
б) с вероятностью не меньше чем 0,95?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Рассмотрим задачу о перчатках. В ящике находится 20 левых и 20 правых перчаток, всего 40 штук. Нам нужно определить минимальное количество извлечённых перчаток для выполнения условий.
Шаг 1. Решение пункта а) «наверняка»
Чтобы гарантировать (с вероятностью 1), что среди достанных перчаток есть хотя бы одна левая и хотя бы одна правая, нужно рассмотреть худший возможный случай.
Худший случай — это когда мы достаём все перчатки только одного типа. Например, нам могут попасться все 20 левых перчаток подряд. Если мы достанем ещё одну (21-ю) перчатку, то она обязательно будет правой, так как левые уже закончились.
Аналогично, если нам попадутся все 20 правых перчаток, то 21-я перчатка будет левой.
Таким образом, чтобы наверняка получить пару разных типов, нужно достать:
n=20+1=21Ответ для а): 21 перчатка.
Шаг 2. Анализ пункта б) «с вероятностью не меньше чем 0,95»
Здесь требуется найти такое количество перчаток k, при котором вероятность события «среди k перчаток есть хотя бы одна левая И хотя бы одна правая» будет P(A)/P(Ω)≥0,95.
Удобнее считать вероятность противоположного события: «все k перчаток одного цвета» (либо все левые, либо все правые).
Общее число способов выбрать k перчаток из 40: Ck40.
Число способов выбрать k левых перчаток из 20: Ck20. Число способов выбрать k правых перчаток из 20: Ck20.
Вероятность того, что все перчатки одного типа: P(однотипные)=2·Ck20/Ck40 Тогда вероятность нужного нам события: P(разные)=1-2·Ck20/Ck40 Нам нужно, чтобы P(разные)≥0,95, то есть 2·Ck20/Ck40≤0,05.
Шаг 3. Проверка гипотезы из ключа (б) 5 перчаток)
Проверим утверждение из ответа к учебнику, что достаточно 5 перчаток. Подставим k=5 в формулу вероятности однотипных перчаток.
Вычислим биномиальные коэффициенты:
- C520=20·19·18·17·16/5·4·3·2·1=15504
- C540=40·39·38·37·36/5·4·3·2·1=658008
Вероятность того, что все 5 перчаток будут одного типа:
P(однотипные)=2·15504/658008=31008/658008≈0,0471Вероятность того, что среди них есть разные типы:
P(разные)=1-0,0471=0,9529Сравниваем с условием: 0,9529>0,95. Условие выполнено.
Проверим, можно ли взять меньше перчаток, например k=4:
- C420=4845
- C440=91390
- P(однотипные)=2·4845/91390=9690/91390≈0,106
- P(разные)=1-0,106=0,894<0,95
При 4 перчатках вероятность недостаточна. Значит, минимальное целое число перчаток, удовлетворяющее условию, действительно равно 5.
Ответ для б): 5 перчаток.
а) 21
б) 5
В пункте а) используется принцип Дирихле/худший случай: нужно вытянуть все перчатки одного вида плюс одну. В пункте б) задача решается через подсчёт вероятности противоположного события (все перчатки одного вида). Расчёты подтверждают, что при k=5 вероятность успеха составляет примерно 0,953, что больше 0,95, а при k=4 она меньше.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 110 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 110?
Краткий ответ: а) 21 б) 5.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 56. Дерево случайного опыта.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.