ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 124: Независимые события

В семье двое детей. Будем считать, что рождение мальчика (М) и девочки (Д) равновероятны, то есть вероятность каждого события равна 0,5. Порядок рождения детей важен для полного описания всех возможных комбинаций.

Запишем все возможные пары (первый ребёнок, второй ребёнок):

• (М, М) — оба мальчика;
• (М, Д) — первый мальчик, вторая девочка;
• (Д, М) — первая девочка, второй мальчик;
• (Д, Д) — обе девочки.

Таким образом, всего существует 4 равновероятных исхода.

По условию задачи известно, что один из детей — мальчик . Это условие исключает тот случай, когда оба ребёнка — девочки. Следовательно, исход (Д, Д) нам не подходит.

Остаются три благоприятных для этого условия исхода:

1. (М, М)
2. (М, Д)
3. (Д, М)

Вероятность того, что в семье хотя бы один мальчик, равна 3/4, но мы работаем с условной вероятностью, рассматривая только эти три случая как новое сокращённое пространство элементарных событий.

Нам нужно найти вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик , при условии, что один из детей уже является мальчиком.

Из трёх оставшихся исходов нас интересует тот, где второй ребёнок — мальчик:

• (М, М) — второй ребёнок мальчик (подходит);
• (М, Д) — второй ребёнок девочка (не подходит);
• (Д, М) — второй ребёнок мальчик (подходит).

Итак, из 3 возможных вариантов нам подходят 2: это случаи (М, М) и (Д, М).

Вероятность искомого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов, удовлетворяющих условию:

Обозначим событие A — «в семье есть хотя бы один мальчик», событие B — «оба ребёнка мальчики» (или точнее, «второй ребёнок мальчик при наличии первого мальчика» в контексте пересечения). Строго говоря, пусть E₁ — «хотя бы один мальчик», E₂ — «оба мальчика». Нам нужна вероятность P(E₂|E₁).

Формула условной вероятности: P(E₂|E₁)=P(E₂∩E₁)/P(E₁)

Событие E₂ («оба мальчика») полностью входит в событие E₁ («хотя бы один мальчик»), поэтому E₂∩E₁=E₂.

Вычислим вероятности:

• P(E₂)=P(М, М)=0,5·0,5=0,25=1/4;
• P(E₁)=1-P(Д, Д)=1-0,25=0,75=3/4.

Подставим значения:

Примечание: Здесь важно различать формулировки. Если вопрос звучит как «какова вероятность, что оба мальчика, если известен пол одного конкретного ребёнка (например, старшего)», ответ будет 1/2. Но фраза «один из них — мальчик» без указания порядка означает, что мы исключаем только вариант «две девочки». В этом классическом парадоксе ответом является 2/3, так как мы ищем вероятность того, что второй ребёнок мальчик, зная лишь факт наличия мальчика в паре. Из трёх случаев (М, М),(М, Д),(Д, М) в двух случаях второй ребёнок — мальчик? Нет, давайте перечитаем внимательно.

Уточнение логики для шага 3: Мы ищем вероятность того, что второй ребёнок мальчик. В пространстве исходов, где есть хотя бы один мальчик: (М, М),(М, Д),(Д, М). В каком из этих случаев второй ребёнок мальчик? 1. (М, М) — второй мальчик. Да. 2. (М, Д) — второй девочка. Нет. 3. (Д, М) — второй мальчик. Да. Итого 2 случая из 3. Ответ 2/3 верен.