ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 132: Условная вероятность и независимые события

Событие A: «при первом броске выпадет шестёрка». На игральной кости всего 6 граней. Благоприятный исход только один (выпадение 6 очков).

Вероятность события A: P(A)=1/6

Событие B: «при втором броске выпадет меньше трёх очков». Это означает выпадение 1 или 2 очков. Всего благоприятных исходов 2.

Вероятность события B: P(B)=2/6=1/3

Так как броски происходят последовательно и результат первого не влияет на физический процесс второго броска, интуитивно понятно, что события независимы. Проверим это математически через общее пространство элементарных исходов.

Всего возможных пар результатов при двух бросках: 6×6=36. Все они равновероятны.

Событие A∩B означает: «на первом броске 6, И на втором броске меньше 3». Благоприятные пары для этого события: (6;1) и (6;2). Их количество равно 2.

Вероятность совместного появления событий A и B: P(A∩B)=2/36=1/18

Вычислим произведение вероятностей: P(A)·P(B)=1/6·1/3=1/18

Сравниваем результаты: 1/18=1/18 Условие независимости выполнено.

Событие A: «при первом броске выпадет больше трёх очков». Это означает выпадение 4, 5 или 6 очков. Количество благоприятных исходов — 3.

Вероятность события A: P(A)=3/6=1/2

Событие B: «сумма выпавших очков меньше девяти». Чтобы найти P(B), посчитаем количество пар (x;y), где x — результат первого броска, y — результат второго, таких что x+y<9.

Проще посчитать противоположное событие B: «сумма очков 9 или больше» (x+y≥9). Возможные пары с суммой ≥9: - Сумма 9: (3;6),(4;5),(5;4),(6;3) — 4 пары. - Сумма 10: (4;6),(5;5),(6;4) — 3 пары. - Сумма 11: (5;6),(6;5) — 2 пары. - Сумма 12: (6;6) — 1 пара. Всего пар с суммой ≥9: 4+3+2+1=10. Тогда пар с суммой <9 будет: 36-10=26.

Вероятность события B: P(B)=26/36=13/18

Теперь найдем вероятность совместного появления событий A и B (A∩B). Это значит: «на первом броске >3» И «сумма <9». Первый бросок может быть 4,5 или 6. Рассмотрим каждый случай:

• Если первый бросок 4 (x=4): чтобы сумма была <9, второй бросок y должен быть таким, что 4+y<9⇒y<5. Возможные значения y: 1,2,3,4. (Итого 4 варианта).
• Если первый бросок 5 (x=5): чтобы сумма была <9, 5+y<9⇒y<4. Возможные значения y: 1,2,3. (Итого 3 варианта).
• Если первый бросок 6 (x=6): чтобы сумма была <9, 6+y<9⇒y<3. Возможные значения y: 1,2. (Итого 2 варианта).

Всего благоприятных исходов для A∩B: 4+3+2=9.

Вероятность совместного появления: P(A∩B)=9/36=1/4

Вычислим произведение индивидуальных вероятностей: P(A)·P(B)=1/2·13/18=13/36

Сравним P(A∩B) и P(A)·P(B): P(A∩B)=9/36 P(A)·P(B)=13/36 Так как 9/36≠13/36, условие независимости не выполняется.