ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 136: Условная вероятность и независимые события

Чтобы определить, являются ли события A и B независимыми, нужно проверить выполнение условия независимости: P(A∩B)=P(A)·P(B). Если это равенство не выполняется, то события зависимы.Шаг 1. Анализ взаимосвязи событийРассмотрим смысл данных событий:Событие A: «потребовалось не более трёх выстрелов». Это означает, что количество выстрелов k удовлетворяет условию k≤3 (то есть k=1,2 или 3).Событие B: «потребовалось не более пяти выстрелов». Это означает, что количество выстрелов k удовлетворяет условию k≤5 (то есть k=1,2,3,4 или 5).Очевидно, что если событие A произошло (выстрелов было не больше трёх), то автоматически выполнено условие для события B (выстрелов точно не больше пяти). Таким образом, событие A является подмножеством события B (A⊂B).Шаг 2. Вычисление вероятностейТак как A⊂B, то пересечение событий A∩B совпадает с самим событием A. Следовательно:P(A∩B)=P(A)Для независимости событий должно выполняться равенство:P(A)=P(A)·P(B)Разделим обе части на P(A) (предполагая, что P(A)>0, так как попасть в мишень за 1–3 выстрела возможно):1=P(B)Это равенство верно только в том случае, если вероятность события B равна единице. Однако стрелок может промахнуться и за 5 выстрелов (или даже больше, если процесс продолжается до поражения, но мы рассматриваем фиксированные интервалы исходов). В общем случае P(B) Шаг 3. Проверка через условную вероятностьДругой способ проверки — сравнить безусловную вероятностьP(B)с условной вероятностью P(B|A).Если события независимы, то наступлениеA не влияет на вероятность B , то есть P(B|A) = P(B).ВычислимP(B|A):P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=P(A)/P(A)=1То есть, если известно, что потребовалось не более трёх выстрелов, то вероятность того, что потребовалось не более пяти выстрелов, равна1(это достоверное событие).Но безусловная вероятностьP(B)меньше1(так как возможны случаи, когда нужно 6,7... выстрелов). Поскольку P(B|A) \neq P(B)$, события зависимы.