7–9 классы Элементы комбинаторики

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 160: Элементы комбинаторики

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 159 161 →

Условие

Найти вероятность того, что среди последних трёх цифр случайного телефона

а) встретится цифра 7

б) встретится цифра 2 или 3

в) встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1

г) будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 или 9.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задач на вероятность появления хотя бы одной определённой цифры среди нескольких независимых испытаний (цифр телефона) удобнее всего использовать метод дополнения. Событие «встретится цифра X» является противоположным событию «ни одна из цифр не равна X». Вероятность противоположного события вычисляется как произведение вероятностей того, что каждая отдельная цифра не равна X, а искомая вероятность находится по формуле P=1-P_{противоп}.

Шаг 1. Пункт а) Встретится цифра 7

Рассмотрим одну позицию в телефоне. Всего существует 10 возможных цифр (0,1,/,9). Цифра 7 — одна конкретная. Значит, вероятность того, что на конкретной позиции не стоит цифра 7, равна 9/10=0,9.

Так как последние три цифры выбираются независимо друг от друга, вероятность того, что ни в одной из трёх позиций нет семёрки, равна:

P(нет 7)=0,9×0,9×0,9=0,9³=0,729

Тогда вероятность того, что хотя бы одна семёрка встретится:

P_a=1-0,729=0,271

Шаг 2. Пункт б) Встретится цифра 2 или 3

Здесь нас интересует появление любой из двух цифр: 2 или 3. На одной позиции благоприятными для события «появилась нужная цифра» являются 2 варианта из 10. Следовательно, вариантов, когда цифра не является ни двойкой, ни тройкой, равно 10-2=8.

Вероятность того, что на одной позиции нет ни 2, ни 3:

p₁=8/10=0,8

Вероятность того, что за три позиции не выпадет ни 2, ни 3:

P(нет 2,3)=0,8³=0,512

Искомая вероятность появления хотя бы одной из этих цифр:

P_b=1-0,512=0,488

Шаг 3. Пункт в) Встретится хотя бы одна из цифр 4, 0 или 1

Нам нужно появление хотя бы одной цифры из множества 4,0,1. Это множество содержит 3 различные цифры.

Количество цифр, которые не входят в это множество (то есть не являются ни 4, ни 0, ни 1), равно 10-3=7.

Вероятность того, что на одной позиции стоит «запрещённая» для нашего условия цифра (не 4,0,1):

p₁=7/10=0,7

Вероятность того, что за три позиции мы не увидим ни одной из цифр 4,0,1:

P(нет 4,0,1)=0,7³=0,343

Вероятность обратного события (хотя бы одна из них встретится):

P_c=1-0,343=0,657

Шаг 4. Пункт г) Будет хотя бы одна из цифр 1, 2, 4 или 9

Множество интересующих нас цифр: 1,2,4,9. Его мощность равна 4.

Цифр, которые не входят в это множество, остаётся 10-4=6 (это 0,3,5,6,7,8).

Вероятность того, что на одной позиции не появится ни одна из целевых цифр:

p₁=6/10=0,6

Вероятность того, что за три позиции не появится ни одна из цифр 1,2,4,9:

P(нет 1,2,4,9)=0,6³=0,216

Искомая вероятность появления хотя бы одной из этих четырёх цифр:

P_d=1-0,216=0,784

Ответ

а) 0,271

б) 0,488

в) 0,657

г) 0,784

Задача решается через вероятность противоположного события. Для каждой части вычисляется вероятность того, что ни одна из трёх цифр не попадает в заданное множество, затем результат возводится в куб (так как цифры независимы) и вычитается из единицы.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 160 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 160?

Краткий ответ: а) 0,271 б) 0,488 в) 0,657 г) 0,784.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Элементы комбинаторики.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.