ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 162: Элементы комбинаторики
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На доске с 12 крючками развешаны в случайном порядке 12 ключей. Найти вероятность того, что
а) каждый ключ висит на своём крючке
б) хотя бы один ключ висит не на своём крючке
в) два определённых ключа перепутаны местами, а остальные висят на своих крючках
г) ровно один ключ висит не на своём крючке, а остальные — на своих.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче мы рассматриваем случайное размещение 12 различных ключей на 12 различных крючках. Это классическая задача о перестановках (деранжировании и его частные случаи).
Общее количество исходов. Так как все 12 ключей различны и все 12 крючков различны, то общее число способов развесить ключи равно числу перестановок из 12 элементов:
N=12!Шаг 1. Пункт а) Каждый ключ висит на своём крючке
Чтобы каждый ключ висел на своём крючке, существует только один благоприятный исход: первый ключ на первом крючке, второй на втором и так далее до двенадцатого.
Количество благоприятных исходов: ma=1.
Вероятность события:
P(A)=ma/N=1/12!Вычислим приближённое значение. Известно, что 12!=479 001 600.
P(A)=1/479 001 600≈2,088·10-9Шаг 2. Пункт б) Хотя бы один ключ висит не на своём крючке
Событие «хотя бы один ключ висит не на своём крючке» является противоположным событию «все ключи висят на своих крючках» (пункт а).
Используем формулу вероятности противоположного события:
P(B)=1-P(A)=1-1/12!Это вероятность того, что хотя бы одна пара «ключ-крючок» не совпадает. Так как 1/12! — очень малое число, эта вероятность близка к 1.
Шаг 3. Пункт в) Два определённых ключа перепутаны местами, остальные на своих
Пусть нам даны два конкретных ключа, например, ключ №1 и ключ №2. Условие требует, чтобы они поменялись местами (ключ №1 на крючке №2, ключ №2 на крючке №1), а все остальные 10 ключей (3,4,…,12) висели строго на своих крючках.
Рассмотрим количество благоприятных исходов:
- Позиции для ключей №1 и №2 фиксированы взаимным обменом: 1 способ.
- Позиции для остальных 10 ключей фиксированы (каждый на своём): 1 способ.
Итого количество благоприятных исходов mc=1.
Вероятность этого конкретного события:
P(C)=mc/N=1/12!Примечание: Если бы в условии было сказано «любые два ключа», то нужно было бы умножить на число сочетаний C212. Но здесь сказано «два определённых ключа», поэтому выбор пары уже сделан заранее, и вариантов размещения именно этой пары всего один.
Шаг 4. Пункт г) Ровно один ключ висит не на своём крючке
Проанализируем возможность такого события логически.
Допустим, ровно один ключ (назовём его K1) висит не на своём крючке. Значит, он висит на каком-то другом крючке, скажем, на крючке Hj (j≠1).
Крючок Hj занят чужим ключом K1. Где же находится свой ключ Kj, который должен висеть на крючке Hj?
- Если Kj висит на своём крючке Hj, то это невозможно, так как Hj уже занят K1.
- Значит, Kj тоже висит не на своём крючке.
Таким образом, если один ключ смещён со своего места, то обязательно найдётся ещё хотя бы один ключ, который занимает освободившееся место или сам смещён. Невозможно, чтобы ровно один элемент перестановки был на неправильном месте при сохранении всех остальных на правильных. Минимальное число неправильно размещенных ключей — два (взаимный обмен).
Следовательно, количество благоприятных исходов md=0.
P(D)=0/12!=0Ответ
а) 1/12!≈2,088·10-9
б) 1-1/12!
в) 1/12!
г) 0
а) 1/12!≈2,088·10-9
б) 1-1/12!
в) 1/12!
г) 0
Задача решается через подсчёт перестановок. Общее число исходов 12!. Для пункта а) благоприятный исход единственный. Для пункта б) используется правило дополнения. Для пункта в) важно слово 'определённых', что означает фиксацию конкретной пары, поэтому благоприятных исходов также 1. Для пункта г) событие невозможно, так как в перестановке не может быть ровно одного элемента, стоящего не на своём месте (если один ушёл, его место занято другим, который тоже не на своём).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 162 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 162?
Краткий ответ: а) 112! 2,088 · 10^-9 б) 1 - 112! в) 112! г) 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Элементы комбинаторики.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.