ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 164: Элементы комбинаторики

Так как каждая из последних четырёх цифр выбирается независимо и имеет 10 возможных значений, общее количество равновероятных исходов (вариантов комбинации последних четырёх цифр) вычисляется по правилу умножения:

Итак, всего 10000 различных наборов из четырёх цифр.

Нам нужно найти число исходов, где среди четырёх цифр ровно одна цифра равна 1, ровно одна цифра равна 7, а остальные две цифры не равны ни 1, ни 7.

Разобьём процесс формирования такой последовательности на этапы:

1. Выбор позиции для цифры 1. Из четырёх доступных мест (1-е, 2-е, 3-е или 4-е) мы можем выбрать место для единицы 4 способами.
2. Выбор позиции для цифры 7. После того как место для единицы занято, у нас остаётся 3 свободных места. Место для семёрки можно выбрать 3 способами.
3. Заполнение оставшихся двух позиций. На двух оставшихся местах должны стоять цифры, отличные от 1 и 7. Всего цифр 10, запрещены 2 цифры (1 и 7), значит, разрешено 10-2=8 цифр (0,2,3,4,5,6,8,9). Для каждого из двух оставшихся мест есть 8 вариантов выбора. Так как выбор независимый, получаем 8·8=64 способа заполнить эти два места.

По правилу умножения найдём общее число благоприятных исходов m:

Вероятность события P равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

Переведём дробь в десятичную форму:

Давайте проверим логику подсчёта через биномиальное распределение или комбинаторику с перестановками.

Можно представить это так: мы выбираем 2 позиции из 4 для специальных цифр (1 и 7). Число способов выбрать 2 позиции из 4 равно C24=4·3/2=6. На выбранных позициях мы можем расставить цифры 1 и 7 двумя способами (1 на первой выбранной, 7 на второй; или наоборот). Итого 6·2=12 способов разместить единственную 1 и единственную 7. Это совпадает с нашим предыдущим расчётом 4·3=12.

Оставшиеся 2 позиции заполняются цифрами из множества {0,2,3,4,5,6,8,9} (всего 8 цифр). Количество вариантов 8²=64.

Всего благоприятных исходов: 12·64=768. Результат верен.