7–9 классы Элементы комбинаторики

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 165: Элементы комбинаторики

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Алексей Широков, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 164 166 →

Условие

Вычислить значения биномиальных коэффициентов

а) C34

б) C25

в) C57

г) C311

д) C612

е) C812.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для вычисления биномиальных коэффициентов (числа сочетаний) воспользуемся формулой: Ckn=n!/k!(n-k)! где n! — факториал числа n, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Также полезно помнить свойство симметрии: Ckn=Cn-kn, что позволяет упростить вычисления, если k>n/2.

Шаг 1. Вычисление для пункта а)

Нужно найти значение C34. По формуле:

C34=4!/3!(4-3)!=4!/3!·1!

Раскроем факториалы. Заметим, что 4!=4·3!, поэтому:

4·3!/3!·1=4/1=4

Ответ а): 4

Шаг 2. Вычисление для пункта б)

Найдем C25:

C25=5!/2!(5-2)!=5!/2!·3!

Сократим на 3! в числителе и знаменателе (5!=5·4·3!):

5·4·3!/2!·3!=5·4/2·1=20/2=10

Ответ б): 10

Шаг 3. Вычисление для пункта в)

Вычислим C57. Используем свойство симметрии C57=C7-57=C27, так как считать с меньшим числом внизу удобнее:

C27=7!/2!(7-2)!=7!/2!·5!

Сокращаем на 5!:

7·6·5!/2·1·5!=7·6/2=42/2=21

Ответ в): 21

Шаг 4. Вычисление для пункта г)

Найдем C311:

C311=11!/3!(11-3)!=11!/3!·8!

Сокращаем на 8!:

11·10·9·8!/3·2·1·8!=11·10·9/6

Упрощаем дробь. Можно сократить 9 и 6 на 3, получим 3 и 2. Или сразу посчитать числитель: 11·10·9=990. Тогда 990/6=165. Проверим сокращением: 11·10·3/2=11·5·3=55·3=165.

Ответ г): 165

Шаг 5. Вычисление для пункта д)

Вычислим C612:

C612=12!/6!(12-6)!=12!/6!·6!

Распишем числитель до 6!, чтобы сократить один из факториалов в знаменателе:

12·11·10·9·8·7·6!/6!·6!=12·11·10·9·8·7/6·5·4·3·2·1

Проведем последовательное сокращение:

12 и 6·2 сокращаются полностью (12/12=1).
10 и 5 дают 2.
8 и 4 дают 2.
9 и 3 дают 3.

Остается перемножить оставшиеся множители: 11·2·3·2·7. Группируем: (11·7)·(2·2·3)=77·12. 77·12=77·(10+2)=770+154=924

Ответ д): 924

Шаг 6. Вычисление для пункта е)

Найдем C812. Воспользуемся свойством симметрии: C812=C12-812=C412.

C412=12!/4!(12-4)!=12!/4!·8!

Сокращаем на 8!:

12·11·10·9·8!/4·3·2·1·8!=12·11·10·9/24

Знаменатель 24=4·3·2·1. Сократим 12 и 24: остается 2 в знаменателе. Или проще: 12/(4·3)=1, тогда остаются 11·10·9/2. 10/2=5. Итого: 11·5·9=55·9.

55·9=495

Ответ е): 495

Ответ

а) 4

б) 10

в) 21

г) 165

д) 924

е) 495

Все вычисления выполнены по стандартной формуле сочетаний. Для пунктов в) и е) использовано свойство симметрии для упрощения расчетов. Результаты совпадают с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 165 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 165?

Краткий ответ: а) 4 б) 10 в) 21 г) 165 д) 924 е) 495.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Элементы комбинаторики.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.