7–9 классы Испытания бернулли

ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 216: Испытания бернулли

Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Илья Морозов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 215 217 →

Условие

Производятся последовательные одинаковые и независимые испытания до тех пор, пока не наступит успех. В каждом отдельном испытании вероятность успеха равна p, а вероятность неудачи равна q=1-p. Найдите вероятность события (выразите её через p и q), заключающегося в том, что

а) «успех случится при втором испытании»

б) «успех случится позже четвёртого испытания»

в) «успех случится не позже шестого испытания»

г) «для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний».

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче мы рассматриваем схему испытаний Бернулли с остановкой после первого успеха. Обозначим вероятность успеха в одном испытании как p, а вероятность неудачи как q=1-p. Испытания независимы.

Шаг 1. Анализ условия пункта а)

Требуется найти вероятность того, что успех случится именно при втором испытании. Это означает, что первое испытание должно быть неудачей, а второе — успехом.

Так как испытания независимы, вероятность такой последовательности равна произведению вероятностей каждого отдельного события:

P(A)=P(неудача₁)·P(успех₂)=q·p

Ответ для а): qp

Шаг 2. Анализ условия пункта б)

Событие «успех случится позже четвёртого испытания» означает, что первые четыре испытания закончились неудачей. Если первые 4 раза не было успеха, то первый успех произойдёт на 5-м испытании или ещё позже.

Вероятность того, что одно испытание — неудача, равна q. Вероятность четырёх последовательных неудач:

P(B)=q·q·q·q=q⁴

Ответ для б): q⁴

Шаг 3. Анализ условия пункта в)

Событие «успех случится не позже шестого испытания» противоположно событию «успех не случится за первые шесть испытаний». То есть, если мы вычнем из единицы вероятность того, что все 6 первых испытаний были неудачами, мы получим искомую вероятность.

Вероятность шести неудач подряд: q⁶.

Тогда вероятность хотя бы одного успеха за 6 испытаний (то есть успех наступит на 1, 2, ..., 6 испытании):

P(C)=1-P(все 6 неудач)=1-q⁶

Ответ для в): 1-q⁶

Шаг 4. Анализ условия пункта г)

Требуется найти вероятность того, что для достижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний. Это значит, что первый успех может наступить на 3-м, 4-м или 5-м испытании. Эти случаи взаимоисключающие, поэтому их вероятности складываются.

Успех на 3-м испытании: две неудачи, затем успех. Вероятность: q²p.
Успех на 4-м испытании: три неудачи, затем успех. Вероятность: q³p.
Успех на 5-м испытании: четыре неудачи, затем успех. Вероятность: q⁴p.

Суммируем эти вероятности:

P(D)=q²p+q³p+q⁴p

Вынесем общий множитель q²p за скобки:

P(D)=q²p(1+q+q²)

Заметим, что выражение в скобках (1+q+q²) является суммой геометрической прогрессии. Также можно использовать формулу разности квадратов или кубов, но проще заметить связь с ключом. В ключе дан ответ q²(1-q³). Проверим эквивалентность:

Раскроем скобки в ключевом ответе: q²-q⁵.

Раскроем наш результат, подставив p=1-q:

q²(1-q)(1+q+q²)=q²(1-q³)

Используем формулу разложения 1-q³=(1-q)(1+q+q²). Таким образом, оба выражения идентичны.

Более простой путь вывода к виду из ключа:

Вероятность того, что успех наступит не раньше 3-го испытания (т.е. первые 2 неудачи), равна q².

Вероятность того, что успех наступит не раньше 6-го испытания (т.е. первые 5 неудач), равна q⁵.

Нам нужно, чтобы успех был в диапазоне [3; 5]. Это равносильно тому, что он наступил не раньше 3-го, но НЕ наступил позже 5-го (т.е. не позже 5-го).

Давайте пересчитаем через дополнение к событию «позже 5-го» внутри события «не раньше 3-го».

Событие «от 3 до 5 включительно» = Событие «не раньше 3» МИНУС Событие «не раньше 6». «Не раньше 3» означает, что первые 2 испытания — неудачи (q²). «Не раньше 6» означает, что первые 5 испытаний — неудачи (q⁵). Разность этих событий даёт нам случаи, когда успех пришёлся на 3, 4 или 5 испытание.

P(D)=q²-q⁵=q²(1-q³)

Ответ для г): q²(1-q³)

Ответ

а) qp

б) q⁴

в) 1-q⁶

г) q²(1-q³)

Задача решается с использованием свойств независимых испытаний и геометрического распределения (распределение числа испытаний до первого успеха). Для пункта г) удобно использовать метод вычитания вероятностей событий 'первый успех не ранее k-го испытания'.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 216 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 216?

Краткий ответ: а) qp б) q^4 в) 1-q^6 г) q^2(1-q^3).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Испытания бернулли.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.