ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 72: Операции над случайными событиями
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Юлия Громова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что для любых событий A и B верны неравенства P(A∪B)≥P(A) и P(A∪B)≥P(B).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Доказательство неравенств для вероятности объединения событий
Шаг 1. Анализ соотношения между событиями A, B и их объединением
Вспомним определение операции объединения (суммы) двух событий. Событие A∪B наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: либо A, либо B, либо оба сразу.
Из этого определения следует важное свойство включения: событие A является частью события A∪B. В терминах теории множеств это записывается как:
A⊆(A∪B)Аналогично, событие B также является частью своего объединения с A:
B⊆(A∪B)Шаг 2. Применение монотонности вероятности
Одно из фундаментальных свойств вероятности — её монотонность . Это свойство гласит: если наступление одного события влечёт за собой наступление другого (то есть первое событие содержится во втором), то вероятность первого события не может превышать вероятность второго.
Формально, если X⊆Y, то верно неравенство:
P(X)≤P(Y)Применим это свойство к нашим событиям.
Шаг 3. Доказательство первого неравенства P(A∪B)≥P(A)
Так как мы установили, что A⊆(A∪B), то по свойству монотонности вероятности имеем:
P(A)≤P(A∪B)Перевернув знак неравенства для удобства сравнения, получаем требуемое утверждение:
P(A∪B)≥P(A)Логическая проверка: Вероятность того, что произойдёт «A или B», всегда больше или равна вероятности того, что произойдёт просто «A», потому что исход «A» уже включён в множество исходов «A или B». Дополнительные исходы (когда происходит только B) могут только увеличить общую вероятность, но никогда не уменьшат её.
Шаг 4. Доказательство второго неравенства P(A∪B)≥P(B)
Действуем аналогично предыдущему пункту. Мы знаем, что B⊆(A∪B).
Следовательно, согласно монотонности вероятности:
P(B)≤P(A∪B)Что эквивалентно доказываемому неравенству:
P(A∪B)≥P(B)Логическая проверка: Аналогично первому случаю, объединение событий содержит все элементарные исходы события B, а возможно, и дополнительные исходы события A. Поэтому вероятность объединения не может быть меньше вероятности отдельного события B.
Итоговый вывод
Мы доказали, что для любых событий A и B выполняются два неравенства:
- P(A∪B)≥P(A)
- P(A∪B)≥P(B)
Это следует непосредственно из того факта, что каждое из событий A и B является подмножеством их объединения A∪B, и из свойства монотонности вероятностной меры.
Доказано через свойство монотонности вероятности:
так как A⊆(A∪B), то P(A)≤P(A∪B);
так как B⊆(A∪B), то P(B)≤P(A∪B).
Решение опирается на базовые аксиомы и свойства вероятности: включение множеств и монотонность. Не требуется использование формулы сложения вероятностей (P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)), так как она даёт точное значение, а нам нужно лишь доказать неравенство. Простое рассуждение о подмножествах является наиболее строгим и понятным для школьного курса.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 72 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 72?
Краткий ответ: Доказано через свойство монотонности вероятности: так как A (A B), то P(A) P(A B); так как B (A B), то P(B) P(A B).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Операции над случайными событиями.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.