ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 78: *. Формула сложения вероятностей
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что P(A∩B)≤P(A) и P(A∩B)≤P(B).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче требуется доказать два неравенства для вероятностей пересечения событий. Мы будем опираться на основные свойства вероятности и формулу сложения вероятностей.
Шаг 1. Анализ соотношения множеств
Рассмотрим событие A∩B (пересечение событий A и B). По определению, это множество исходов, которые принадлежат одновременно и событию A, и событию B.
Из этого следует, что любое элементарное событие, входящее в A∩B, обязательно входит в A. То есть множество A∩B является подмножеством множества A: A∩B⊆A.
Аналогично, любое элементарное событие из A∩B обязательно входит в B. Значит: A∩B⊆B.
Шаг 2. Доказательство первого неравенства P(A∩B)≤P(A)
Используем свойство монотонности вероятности: если одно событие содержится в другом (C⊆D), то вероятность меньшего события не превышает вероятность большего (P(C)≤P(D)).
Так как мы установили, что A∩B⊆A, то непосредственно следует: P(A∩B)≤P(A).
Альтернативный вывод через формулу сложения:
Событие A можно представить как объединение двух несовместных событий: (A∩B) и (AsetminusB). Здесь AsetminusB — это часть события A, которая не пересекается с B.
По формуле сложения вероятностей для несовместных событий: P(A)=P(A∩B)+P(AsetminusB).
Так как вероятность любого события неотрицательна, то P(AsetminusB)≥0. Следовательно, вычитая неотрицательное число из суммы, получаем: P(A∩B)=P(A)-P(AsetminusB)≤P(A).
Шаг 3. Доказательство второго неравенства P(A∩B)≤P(B)
Действуем симметрично предыдущему шагу. Так как A∩B⊆B, то по свойству монотонности вероятности: P(A∩B)≤P(B).
Вывод через формулу сложения:
Событие B можно разложить на несовместные части: (A∩B) и (BsetminusA).
Тогда: P(B)=P(A∩B)+P(BsetminusA).
Поскольку P(BsetminusA)≥0, имеем: P(A∩B)=P(B)-P(BsetminusA)≤P(B).
Шаг 4. Проверка и итоговый вывод
Мы доказали оба утверждения двумя способами: через включение множеств и через алгебраическое представление событий. Оба метода корректны и приводят к одному результату.
Логика проверки: вероятность пересечения не может быть больше вероятности каждого из исходных событий, так как пересечение «меньше» или равно каждому из них по объёму благоприятных исходов.
Неравенства доказаны.
Доказано
а) P(A∩B)≤P(A)
б) P(A∩B)≤P(B)
Задача теоретическая. Ключевые моменты: использование свойства подмножества (A∩B⊆A) или разложение события на несовместные части (A=(A∩B)∪(AsetminusB)). Важно подчеркнуть неотрицательность вероятности.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 78 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 78?
Краткий ответ: Доказано: а) P(A B) P(A) б) P(A B) P(B).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 53. *. Формула сложения вероятностей.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.