ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 91: Решение задач с помощью координатной прямой
Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Пользуясь диаграммой Эйлера для событий A, B и C, выведите формулу сложения вероятностей для трёх событий: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для вывода формулы вероятности объединения трёх событий воспользуемся методом «включений и исключений», опираясь на свойства диаграммы Эйлера. Наша цель — найти вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий A, B или C, то есть вычислить P(A∪B∪C).
Шаг 1. Сложение вероятностей отдельных событий
Рассмотрим сумму вероятностей каждого события по отдельности: S1=P(A)+P(B)+P(C). Если мы просто сложим эти значения, то области пересечений будут учтены несколько раз. Например, часть круга A, которая пересекается с кругом B, входит в P(A) и одновременно в P(B). Таким образом, при таком суммировании мы завышаем итоговую вероятность, так как общие части считаются дважды (или трижды для центра).
Шаг 2. Вычитание парных пересечений
Чтобы исправить двойной счёт областей, где пересекаются два события, нужно вычесть вероятности всех возможных парных пересечений: S2=S1-[P(A∩B)+P(A∩C)+P(B∩C)]. Однако здесь возникает новая проблема. Рассмотрим центральную область, где пересекаются все три события сразу (A∩B∩C). 1. В исходной сумме P(A)+P(B)+P(C) эта область учитывается 3 раза . 2. При вычитании парных пересечений она входит в каждое из них (A∩B, A∩C, B∩C), поэтому мы вычитаем её 3 раза . В итоге вклад центральной области в текущую сумму равен 3-3=0. Но в объединении A∪B∪C эта область должна присутствовать ровно 1 раз .
Шаг 3. Добавление тройного пересечения и итоговая формула
Так как центральная область была полностью исключена из расчёта, нам необходимо добавить её обратно один раз. Для этого прибавляем вероятность одновременного наступления всех трёх событий: P(A∪B∪C)=S2+P(A∩B∩C). Подставив выражение для S2, получаем окончательную формулу:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)Проверка логики: Формула корректно учитывает каждую зону диаграммы ровно один раз. Зоны, принадлежащие только одному событию, входят со знаком «+». Зоны пересечения двух событий сначала складываются дважды, затем вычитаются один раз (итог: 1 раз). Зона пересечения трёх событий складывается трижды, вычитается трижды и добавляется один раз (итог: 1 раз).
Формула включений-исключений для трёх событий:
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)
Задача требует теоретического вывода формулы. Ключевым моментом является анализ кратности учёта областей пересечения на диаграмме Эйлера. Важно показать, почему после вычитания парных пересечений нужно добавлять тройное пересечение.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 91 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 91?
Краткий ответ: Формула включений-исключений для трёх событий: P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Вероятность и статистика: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях; 1-ое издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 54. Решение задач с помощью координатной прямой.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.